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\documentclass{article}
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\usepackage{amsmath}
\usepackage{booktabs}
\title{离散数学作业(习题一T3,4(5-8),5,8)}
\author{2020141460280张家帅}

\begin{document}
\maketitle
\section{习题一}
\subsection{T3}
\subsubsection{(1)}
$P\vee (\neg P\wedge Q)\rightarrow Q$ \\


\begin{tabular}{cc|c}
	\toprule
	P & Q & 原式 \\
	\midrule
	0 & 0 & 1    \\
	0 & 1 & 1    \\
	1 & 0 & 0    \\
	1 & 1 & 1    \\
	\bottomrule
\end{tabular} \\


可满足公式
\subsubsection{(2)}
$(P\vee \neg R)\leftrightarrow(Q\vee R)$ \\


\begin{tabular}{ccc|cc|c}
	\toprule
	P & Q & R & $P \wedge \neg R$ & $Q\vee R$ & 原式 \\
	\midrule
	0 & 0 & 0 & 0                 & 0         & 1    \\
	0 & 0 & 1 & 0                 & 1         & 0    \\
	0 & 1 & 0 & 0                 & 1         & 0    \\
	0 & 1 & 1 & 0                 & 1         & 0    \\
	1 & 0 & 0 & 1                 & 0         & 0    \\
	1 & 0 & 1 & 0                 & 1         & 0    \\
	1 & 1 & 0 & 1                 & 1         & 1    \\
	1 & 1 & 1 & 0                 & 1         & 0    \\
	\bottomrule
\end{tabular} \\


可满足公式
\subsubsection{(3)}
$(P\rightarrow (Q\rightarrow R))\leftrightarrow((P\wedge Q)\rightarrow R)$ \\


\begin{tabular}{ccc|cc|c}
	\toprule
	P & Q & R & $P\rightarrow (Q\rightarrow R)$ & $(P\wedge Q) \rightarrow R$ & 原式 \\
	\midrule
	0 & 0 & 0 & 1                               & 1                           & 1    \\
	0 & 0 & 1 & 1                               & 1                           & 1    \\
	0 & 1 & 0 & 1                               & 1                           & 1    \\
	0 & 1 & 1 & 1                               & 1                           & 1    \\
	1 & 0 & 0 & 1                               & 1                           & 1    \\
	1 & 0 & 1 & 1                               & 1                           & 1    \\
	1 & 1 & 0 & 0                               & 0                           & 1    \\
	1 & 1 & 1 & 1                               & 1                           & 1    \\
	\bottomrule
\end{tabular} \\


永真式
\subsubsection{(4)}
$(P\wedge (P\wedge Q))\leftrightarrow \neg P$ \\


\begin{tabular}{cc|cc|c}
	\toprule
	P & Q & $P\wedge (P\wedge Q)$ & $\neg P$ & 原式 \\
	\midrule
	0 & 0 & 0                     & 1        & 0    \\
	0 & 1 & 0                     & 1        & 0    \\
	1 & 0 & 0                     & 0        & 1    \\
	1 & 1 & 1                     & 0        & 0    \\
	\bottomrule
\end{tabular} \\


可满足公式
\subsection{T4}
\subsubsection{(5)}
$(P\rightarrow Q)\leftrightarrow (\neg Q\rightarrow \neg P)$ \\


\begin{tabular}{cc|cc|c}
	\toprule
	P & Q & $P\rightarrow Q$ & $\neg Q\rightarrow \neg P$ & 原式 \\
	\midrule
	0 & 0 & 0                & 1                          & 0    \\
	0 & 1 & 0                & 1                          & 0    \\
	1 & 0 & 0                & 0                          & 1    \\
	1 & 1 & 1                & 0                          & 0    \\
	\bottomrule
\end{tabular}
\subsubsection{(6)}
$((P\rightarrow Q)\wedge(Q\rightarrow R))\rightarrow(P\rightarrow R)$  \\


\begin{tabular}{ccc|cc|c}
	\toprule
	P & Q & R & $(P\rightarrow Q)\wedge(Q\rightarrow R)$ & $P\rightarrow R$ & 原式 \\
	\midrule
	0 & 0 & 0 & 1                                        & 1                & 1    \\
	0 & 0 & 1 & 1                                        & 1                & 1    \\
	0 & 1 & 0 & 1                                        & 1                & 1    \\
	0 & 1 & 1 & 1                                        & 1                & 1    \\
	1 & 0 & 0 & 0                                        & 0                & 1    \\
	1 & 0 & 1 & 1                                        & 1                & 1    \\
	1 & 1 & 0 & 0                                        & 0                & 1    \\
	1 & 1 & 1 & 1                                        & 1                & 1    \\
	\bottomrule
\end{tabular}
\subsubsection{(7)}
$((P\vee Q)\wedge (P\rightarrow R)\wedge(Q\rightarrow R))\rightarrow R$ \\


\begin{tabular}{ccc|cc|c}
	\toprule
	P & Q & R & $(P\vee Q)\wedge (P\rightarrow R)\wedge(Q\rightarrow R)$ & $R$ & 原式 \\
	\midrule
	0 & 0 & 0 & 0                                                        & 0   & 1    \\
	0 & 0 & 1 & 1                                                        & 1   & 1    \\
	0 & 1 & 0 & 0                                                        & 0   & 1    \\
	0 & 1 & 1 & 1                                                        & 1   & 1    \\
	1 & 0 & 0 & 0                                                        & 0   & 1    \\
	1 & 0 & 1 & 1                                                        & 1   & 1    \\
	1 & 1 & 0 & 0                                                        & 0   & 1    \\
	1 & 1 & 1 & 1                                                        & 1   & 1    \\
	\bottomrule
\end{tabular}
\subsubsection{(8)}
$((P\rightarrow Q)\wedge (R\rightarrow S))\rightarrow ((P\wedge R)\rightarrow(Q\wedge S))$ \\


\begin{tabular}{cccc|cc|c}
	\toprule
	P & Q & R & S & $(P\rightarrow Q)\wedge (R\rightarrow S)$ & $(P\wedge R)\rightarrow(Q\wedge S)$ & 原式 \\
	\midrule
	0 & 0 & 0 & 0 & 1                                         & 1                                   & 1    \\
	0 & 0 & 0 & 1 & 1                                         & 1                                   & 1    \\
	0 & 0 & 1 & 0 & 1                                         & 1                                   & 1    \\
	0 & 0 & 1 & 1 & 1                                         & 1                                   & 1    \\
	0 & 1 & 0 & 0 & 1                                         & 1                                   & 1    \\
	0 & 1 & 0 & 1 & 1                                         & 1                                   & 1    \\
	0 & 1 & 1 & 0 & 1                                         & 1                                   & 1    \\
	0 & 1 & 1 & 1 & 1                                         & 1                                   & 1    \\
	1 & 0 & 0 & 0 & 1                                         & 1                                   & 1    \\
	1 & 0 & 0 & 1 & 1                                         & 1                                   & 1    \\
	1 & 0 & 1 & 0 & 0                                         & 0                                   & 1    \\
	1 & 0 & 1 & 1 & 0                                         & 0                                   & 1    \\
	1 & 1 & 0 & 0 & 1                                         & 1                                   & 1    \\
	1 & 1 & 0 & 1 & 1                                         & 1                                   & 1    \\
	1 & 1 & 1 & 0 & 0                                         & 0                                   & 1    \\
	1 & 1 & 1 & 1 & 1                                         & 1                                   & 1    \\
	\bottomrule
\end{tabular}

\subsection{T5}
\subsubsection{(1)}
\begin{align}
	                  & \neg ((\neg P\wedge Q)\vee(\neg P\wedge \neg Q))\vee(P\wedge Q)\notag   \\
	\Leftrightarrow{} & \neg(\neg P\wedge Q)\vee\neg(\neg P\wedge \neg Q)\vee (P\wedge Q)\notag \\
	\Leftrightarrow{} & (P\vee \neg Q)\wedge(P\vee Q)\vee(P\wedge Q)\notag                      \\
	\Leftrightarrow{} & P\vee(P\wedge Q)\vee(P\wedge \neg Q)\vee(P\wedge Q)\notag               \\
	\Leftrightarrow{} & P\notag
\end{align}
\subsubsection{(2)}
\begin{align}
	                  & (P\rightarrow Q)\wedge(R\rightarrow Q)\notag \\
	\Leftrightarrow{} & (\neg P\vee Q)\wedge(\neg R\vee Q)\notag     \\
	\Leftrightarrow{} & (\neg P\wedge \neg R)\vee Q\notag            \\
	\Leftrightarrow{} & \neg(P\vee R)\vee Q\notag                    \\
	\Leftrightarrow{} & (P\vee R)\rightarrow Q\notag
\end{align}
\subsubsection{(3)}
\begin{align}
	                  & P\rightarrow(Q\vee R)\notag                \\
	\Leftrightarrow{} & \neg P \vee Q\vee R\notag                  \\
	\Leftrightarrow{} & \neg P \vee Q\vee \neg P\vee R\notag       \\
	\Leftrightarrow{} & (P\rightarrow Q)\vee(P\rightarrow R)\notag
\end{align}
\subsubsection{(4)}
\begin{align}
	                  & (P\vee Q)\wedge(Q\vee R)\wedge(R\vee P)\notag   \\
	\Leftrightarrow{} & ((P\wedge R)\vee Q)\wedge(P\vee P)\notag        \\
	\Leftrightarrow{} & (P\wedge R)\vee(Q\wedge R)\vee(Q\wedge P)\notag
\end{align}
\subsection{T8}
\subsubsection{(1)}
\begin{align}
	                  & (P\wedge Q)\vee \neg P\notag          \\
	\Leftrightarrow{} & \neg\neg((p\wedge Q)\vee\neg P)\notag \\
	\Leftrightarrow{} & \neg(\neg(P\wedge Q)\wedge P)\notag   \\
	\Leftrightarrow{} & \neg((P\uparrow Q)\wedge P)\notag     \\
	\Leftrightarrow{} & (P\uparrow Q)\uparrow P\notag
\end{align}
\subsubsection{(2)}
\begin{align}
	                  & P\rightarrow(\neg P\rightarrow Q)\notag \\
	\Leftrightarrow{} & P\rightarrow(P\vee Q)\notag             \\
	\Leftrightarrow{} & \neg P\vee Q\notag                      \\
	\Leftrightarrow{} & \neg(P\wedge\neg Q)\notag               \\
	\Leftrightarrow{} & \neg(P\wedge(Q\uparrow Q))\notag        \\
	\Leftrightarrow{} & P\uparrow(Q\uparrow Q)\notag
\end{align}
\subsubsection{(3)}
\begin{align}
	                  & (P\rightarrow (Q\vee\neg R))\wedge\neg P\notag                                                                                     \\
	\Leftrightarrow{} & (\neg P\vee Q\vee\neg R)\wedge\neg P\notag                                                                                         \\
	\Leftrightarrow{} & \neg P\vee(\neg P\wedge Q)\vee \neg P\notag                                                                                        \\
	\Leftrightarrow{} & \neg (P\wedge\neg((P\uparrow P)\wedge Q)\wedge\neg((P\uparrow P)\wedge(R\uparrow R)))\notag                                        \\
	\Leftrightarrow{} & \neg(P\wedge((P\uparrow P)\uparrow Q)\wedge(P\uparrow P)\wedge(R\uparrow R))\notag                                                 \\
	\Leftrightarrow{} & (P\uparrow((P\uparrow P)\uparrow Q))\uparrow(P\uparrow((P\uparrow P)\uparrow Q))\uparrow((P\uparrow P)\uparrow(R\uparrow R))\notag
\end{align}
\subsubsection{(4)}
\begin{align}
	                  & \neg P\wedge\neg Q\wedge(\neg R\rightarrow P)\notag              \\
	\Leftrightarrow{} & \neg P\wedge\neg Q\wedge(R\vee P)\notag                          \\
	\Leftrightarrow{} & ((P\uparrow P)\uparrow(Q\uparrow Q))\uparrow (R\uparrow R)\notag
\end{align}
\end{document}
